Risolvi EspressioniProprietà associativa
Lezione sulla proprietà associativa, con definizione ed usi pratici.
La proprietà associativa è una proprietà algebrica che vale per l’addizione e la sottrazione.
Definizione
La definizione della proprietà associativa è la seguente.
In un’addizione con più addendi è possibile sostituire addendi consecutivi con la loro somma, in una moltiplicazione con più fattori è possibile sostituire fattori consecutivi con il loro prodotto.
Quando si applica
La proprietà associativa vale soltanto per l’addizione e la moltiplicazione. La sottrazione e la divisione infatti non godono di questa proprietà.
Esempio di addizione
Consideriamo la seguente somma
\[10+5+3\]Eseguendo la somma otteniamo
\[10+5+3=18\]É possibile sfruttare la proprietà associativa per associare due termini, ovvero sostituire ai primi due termini il risultato della loro somma, e poi aggiungere il terzo.
\[\underbrace{10+5}_{15}+3=15+3=18\]Il risultato non è cambiato. Allo stesso modo è possibile associare gli ultimi due termini
\[10+\underbrace{5+3}_{8}=10+8= 18\]Ora consideriamo la seguente sottrazione
\[10-5-3=2\]Proviamo ad associare due termini.
\[10-\underbrace{5-3}_{2}=10-2=8\]Il risultato è cambiato, non è più 2 ma 8. Questo perchè la proprietà associativa non vale per la sottrazione.
Esempio di moltiplicazione
Consideriamo la seguente moltiplicazione
\[2 \times 3 \times 5 = 30\]É possibile associare due termini ovvero sostituire ai primi due termini il risultato del loro prodotto, e poi moltiplicare per il terzo.
\[\underbrace{2 \times 3}_{6} \times 5= 6 \times 5 = 30\]Possiamo anche associare gli ultimi due termini.
\[2 \times\underbrace{3 \times 5}_{15} = 2 \times 15 = 30\]In entrambi i casi il risultato non è cambiato perchè la moltiplicazione gode della proprietà associativa.
Consideriamo una divisione.
\[16:8:2=1\]Proviamo ad associare due termini.
\[16 :\underbrace{8:2}_{4} =16:4=4\]Il risultato è cambiato, non è più 1 ma 4. La proprietà associativa non vale per la divisione.
Altri casi
É possibile associare anche più di due termini alla volta.
\[10 \times 2\times 3 \times 4 = 240\] \[10 \times\underbrace{ 2\times 3 \times 4}_{24} =10 \times 24 = 240\]Quando è utile
La proprietà associativa è utile, ad esempio, per eseguire calcoli mentali rapidamente.
Consideriamo la seguente moltiplicazione
\[4 \times 3 \times 5 \times 2\]Riuscite velocemente a calcolare il risultato? Scriviamola in altro modo.
\[\underbrace{4 \times 3}_{12} \times \underbrace{5 \times 2}_{10} =12\times 10=120\]Come potete vedere, poichè il prodotto degli ultimi due termini è 100, il calcolo si semplifica notevolmente.