Lezione sulle propriet\u00e0 delle potenze, spiegazione ed esempi pratici.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Le propriet\u00e0 delle potenze sono regole che ci permettono di risolvere facilmente alcune operazioni che contengono le potenze.<\/p>\n\n\n\n
Le principali propriet\u00e0 delle potenze sono le seguenti:<\/p>\n\n\n\n
Il prodotto tra due potenze aventi la stessa base \u00e8 uguale ad una potenza avente per base la stessa base, e per esponente la somma tra gli esponenti.<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n
Ad esempio<\/p>\n\n\n\n\\[2^{2}\\cdot 2^{3}\\]\n\n\n\n
In questa moltiplicazione entrambi i fattori hanno come base comune 2, possiamo dunque applicare la propriet\u00e0<\/p>\n\n\n\n\\[2^{2}\\cdot 2^{3}=2^{(2+3)}=2^5\\]\n\n\n\n\\[2^{2}\\cdot 2^{3}=2^5\\]\n\n\n\n
Il risultato del prodotto \u00e8 una potenza avente per base la base in comune (2) e per esponente la somma tra gli esponenti (2 + 3 = 5).<\/p>\n\n\n\n
Divisione<\/h2>\n\n\n\n
Il quoziente tra due potenze aventi la stessa base \u00e8 uguale ad una potenza avente per base la stessa base, e per esponente la differenza tra gli esponenti.<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n
Come potete notare la regola \u00e8 simile alla regola valida per le moltiplicazioni ma gli esponenti vanno sottratti.<\/p>\n\n\n\n
Facciamo un esempio<\/p>\n\n\n\n\\[5^{6}:5^{4}=5^{6-4}=5^{2}\\]\n\n\n\n\\[5^{6}:5^{4}=5^2\\]\n\n\n\n
Potenza di potenza<\/h2>\n\n\n\n
La potenza di potenza \u00e8 una potenza elevata ad un certo esponente. Possiamo anche definirla come potenza che ha per base un’altra potenza.<\/p>\n\n\n\n
Eccone un esempio<\/p>\n\n\n\n\\[\\left(2^{3}\\right)^5\\]\n\n\n\n
Questa potenza viene letta come “due alla terza, tutto elevato alla quinta”.<\/p>\n\n\n\n
La regola stabilisce che:<\/p>\n\n\n\n
La potenza di potenza \u00e8 una potenza che ha per base la base presa in esame, e per esponente il prodotto tra gli esponenti.<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n
Riprendiamo il nostro esempio precedente<\/p>\n\n\n\n\\[\\left(2^{3}\\right)^5\\]\n\n\n\n
La base presa in esame \u00e8 2, il risultato sar\u00e0 una potenza avente per base 2 e per esponente il prodotto tra gli esponenti 3 e 5<\/p>\n\n\n\n\\[\\left(2^{3}\\right)^5=2^{(3\\cdot 5)}=2^{15}\\]\n\n\n\n
Cosa si intende per base presa in esame? La base presa in esame \u00e8 una qualsiasi base scelta per applicare la regola descritta.<\/p>\n\n\n\n
La potenza di potenza infatti pu\u00f2 essere ripetuta pi\u00f9 volte<\/p>\n\n\n\n\\[\\left(\\left(5^{2}\\right)^{3}\\right)^{4}\\]\n\n\n\n
In questo caso le basi che possiamo considerare sono pi\u00f9 di una.<\/p>\n\n\n\n\\[5\\]\n\n\n\n
5 rappresenta la base pi\u00f9 “interna”.<\/p>\n\n\n\n\\[5^{2}\\]\n\n\n\n
5 alla seconda rappresenta anch’essa una base.<\/p>\n\n\n\n
Considerando la base pi\u00f9 “interna”, ovvero 5, il risultato sar\u00e0 una potenza avente per base 5 e per esponente il prodotto tra tutti gli esponenti, presi in ordine dal pi\u00f9 interno al pi\u00f9 esterno.<\/p>\n\n\n\n\\[5^{\\left(2\\cdot 3 \\cdot 4\\right)}=5^{24}\\]\n\n\n\n
Nulla ci vieta di prendere in considerazione una base diversa come ad esempio<\/p>\n\n\n\n\\[5^{2}\\]\n\n\n\n
In questo caso il risultato sar\u00e0 una base avente per base la base presa in esame, e per esponente il prodotto tra tutti gli esponenti.<\/p>\n\n\n\n\\[\\left(5^{2}\\right)^{(3\\cdot 4)}=\\left(5^{2}\\right)^{12}\\]\n\n\n\n
Possiamo notare che continuando ad applicare la regola il risultato finale sar\u00e0 comunque lo stesso.<\/p>\n\n\n\n\\[\\left(5^{2}\\right)^{12}=5^{24}\\]\n\n\n\n
Stesso esponente<\/h2>\n\n\n\n
Il prodotto tra due potenze aventi lo stesso esponente \u00e8 uguale ad una potenza avente per base il prodotto tra le basi e per esponente lo stesso esponente.<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n
Esempio<\/p>\n\n\n\n\\[3^{4}\\cdot 5^{4} = \\left(3\\cdot 5\\right)^{4}=15^4\\]\n\n\n\n
In maniera simile esiste anche una regola valida per le divisioni.<\/p>\n\n\n\n
Il quoziente tra due potenze aventi lo stesso esponente \u00e8 uguale ad una potenza avente per base il quoziente tra le basi e per esponente lo stesso esponente.<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n
Esempio<\/p>\n\n\n\n\\[10^{4}:5^{4}=\\left(10:5\\right)^{4}=2^{4}\\]\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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