Proprietà delle potenze

Le proprietà delle potenze sono regole che ci permettono di risolvere facilmente alcune operazioni che contengono le potenze.

Le principali proprietà delle potenze sono le seguenti:

• Moltiplicazione e divisione tra potenze aventi la stessa base
• Potenza di potenza
• Moltiplicazione e divisione di potenze aventi lo stesso esponente

Moltiplicazione

Il prodotto tra due potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza avente per base la stessa base, e per esponente la somma tra gli esponenti.

Ad esempio

\[2^{2}\cdot 2^{3}\]

In questa moltiplicazione entrambi i fattori hanno come base comune 2, possiamo dunque applicare la proprietà

\[2^{2}\cdot 2^{3}=2^{(2+3)}=2^5\] \[2^{2}\cdot 2^{3}=2^5\]

Il risultato del prodotto è una potenza avente per base la base in comune (2) e per esponente la somma tra gli esponenti (2 + 3 = 5).

Divisione

Il quoziente tra due potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza avente per base la stessa base, e per esponente la differenza tra gli esponenti.

Come potete notare la regola è simile alla regola valida per le moltiplicazioni ma gli esponenti vanno sottratti.

Facciamo un esempio

\[5^{6}:5^{4}=5^{6-4}=5^{2}\] \[5^{6}:5^{4}=5^2\]

Potenza di potenza

La potenza di potenza è una potenza elevata ad un certo esponente. Possiamo anche definirla come potenza che ha per base un’altra potenza.

Eccone un esempio

\[\left(2^{3}\right)^5\]

Questa potenza viene letta come “due alla terza, tutto elevato alla quinta”.

La regola stabilisce che:

La potenza di potenza è una potenza che ha per base la base presa in esame, e per esponente il prodotto tra gli esponenti.

Riprendiamo il nostro esempio precedente

\[\left(2^{3}\right)^5\]

La base presa in esame è 2, il risultato sarà una potenza avente per base 2 e per esponente il prodotto tra gli esponenti 3 e 5

\[\left(2^{3}\right)^5=2^{(3\cdot 5)}=2^{15}\]

Cosa si intende per base presa in esame? La base presa in esame è una qualsiasi base scelta per applicare la regola descritta.

La potenza di potenza infatti può essere ripetuta più volte

\[\left(\left(5^{2}\right)^{3}\right)^{4}\]

In questo caso le basi che possiamo considerare sono più di una.

\[5\]

5 rappresenta la base più “interna”.

\[5^{2}\]

5 alla seconda rappresenta anch’essa una base.

Considerando la base più “interna”, ovvero 5, il risultato sarà una potenza avente per base 5 e per esponente il prodotto tra tutti gli esponenti, presi in ordine dal più interno al più esterno.

\[5^{\left(2\cdot 3 \cdot 4\right)}=5^{24}\]

Nulla ci vieta di prendere in considerazione una base diversa come ad esempio

\[5^{2}\]

In questo caso il risultato sarà una base avente per base la base presa in esame, e per esponente il prodotto tra tutti gli esponenti.

\[\left(5^{2}\right)^{(3\cdot 4)}=\left(5^{2}\right)^{12}\]

Possiamo notare che continuando ad applicare la regola il risultato finale sarà comunque lo stesso.

\[\left(5^{2}\right)^{12}=5^{24}\]

Stesso esponente

Il prodotto tra due potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza avente per base il prodotto tra le basi e per esponente lo stesso esponente.

Esempio

\[3^{4}\cdot 5^{4} = \left(3\cdot 5\right)^{4}=15^4\]

In maniera simile esiste anche una regola valida per le divisioni.

Il quoziente tra due potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza avente per base il quoziente tra le basi e per esponente lo stesso esponente.

Esempio

\[10^{4}:5^{4}=\left(10:5\right)^{4}=2^{4}\]